라플라스 방정식의 스칼라 형태는 부분 미분 방정식입니다
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여기서
는 라플라시안입니다.
연산자
은 일반적으로 수학자에 의해
로 작성됩니다(크란츠 1999,16 면). 라플라스 방정식은 헬름홀츠 미분 방정식의 특별한 경우입니다
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포아송 방정식
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벡터 라플라스 방정식에 의해 주어진다
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라플라스 방정식을 만족하는 함수
는 고조파라고합니다. 라플라스 방정식에 대한 해결책은 구면 표면의 평균값이 구의 중심 값(가우스의 고조파 함수 정리)과 동일하다는 속성을 갖습니다. 솔루션에는 로컬 최대 값 또는 최소값이 없습니다. 라플라스의 방정식은 선형이기 때문에 두 해 중첩은 또한 해입니다.
라플라스 방정식에 대한 해법은(1)함수의 값이 모든 경계(디리클레 경계 조건)에 지정되거나(2)함수의 정규 도함수가 모든 경계(노이만 경계 조건)에 지정되면 고유하게 결정됩니다.
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, 순환 함수 | |
| 포물선 |  |
순환 함수 |
| 2018 년 10 월 1 일(토)~2018 년 11 월 1 일(일)) | 르장드르 다항식,원형 함수 | |
| 구면 |  |
르장드르 다항식,전력,원형 함수 |
라플라스의 방정식은 모든 변수의 분리에 의해 해결 될 수있다 11 헬름홀츠 미분 방정식이 할 수있는 시스템을 좌표. 이러한 솔루션이 취하는 양식은 위의 표에 요약되어 있습니다. 이 11 개의 좌표계 외에도 곱셈 계수를 도입하여 두 개의 추가 좌표계에서 분리를 달성 할 수 있습니다. 에서 이러한 협조 시스템,분리된 양식이
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설정
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여기서
는 요인을 규모로,라플라스 방정식
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는 경우 오른쪽과 같
,어디
은 일정한
는 어떤 기능을 경고
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여기서
은 Stäckel 결정한 다음,방정식 해결할 수 있는 방법을 사용하의 Helmholtz 미분 방정식이다. 이 경우 두 시스템은 비스페릭과 토로 이달이며,라플라스 방정식에 대한 분리 가능한 시스템의 총 수를 13 으로 가져옵니다(모스와 페슈 바흐 1953,665-666 쪽).
2 차원 바이폴라 좌표에서 라플라스 방정식은 분리 가능하지만 헬름홀츠 미분 방정식은 그렇지 않습니다.1997 년,128 쪽)호출
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라플라스 방정식.