Topologi
5.2. Kompakte Og Perfekte Sett
Vi har allerede sett at alle åpne sett i den virkelige linjen kan skrives som tellbar union av disjoint åpne intervaller. Vi vil nå se nærmere på lukkede sett. Den viktigste typen lukkede sett i den virkelige linjen kalles kompakte sett:
| Definisjon 5.2.1: Kompakte Sett | |
| et sett s av reelle tall kalles kompakt hvis hver sekvens I S har en subsekvens som konvergerer til et element igjen inneholdt I S. | |
| Eksempler 5.2.2: | |
|
|
er intervallet kompakt ? Hva med, Og C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Er C et åpent deksel For S ? 
= { t 
R : | t – 
| & lt 
og her er karakteriseringen av kompakte sett basert bare på åpne sett:
| Teorem 5.2.6: Heine-Borel Theorem | |
et sett s av reelle tall er kompakt hvis Og bare hvis hver åpen cover C Av S kan reduseres til en endelig subcovering.
 Bevis |
|
Kompakte sett deler mange egenskaper med begrensede sett. For Eksempel, Hvis A og B er to ikke-tomme sett Med En 
B, Så Er A 
B # 0. Det er faktisk sant for endelig mange sett også, men unnlater å være sant for uendelig mange sett.
| Eksempler 5.2.7: | |
|
|
Kompakte sett har derimot følgende fine eiendom, som vil bli brukt i noen av de følgende kapitlene:
| Proposition 5.2.8: Kryss av Nestede Kompakte Sett | |
| Anta { Aj } Er en samling av sett slik at hver aj ikke er tom, kompakt og Aj+1 Aj. Da Er A = Aj ikke tom.
Bevis |
|
en annen interessant samling av lukkede sett er de perfekte settene:
| Definisjon 5.2.9: Perfekt Sett | |
| et sett S er perfekt hvis det er lukket og hvert punkt Av S er et akkumuleringspunkt Av S. | |
| Eksempel 5.2.10: | |
|
|
{0} ? som en anvendelse av ovennevnte resultat, vil vi se at perfekte sett er lukkede sett som inneholder mange poeng:
| Proposition 5.2.11: Perfekte sett Er Utallige | |
| Hvert ikke-tomt perfekt sett må være utallige.
Bevis |
|
dette kan gi et raskt, men ganske sofistikert bevis på at intervallet er utallige: intervallet er et perfekt sett, derfor må det være utallige.
Et annet, ganske merkelig eksempel på et lukket, kompakt og perfekt sett er Cantor-settet.
| Definisjon 5.2.12: Cantor Midten Tredje Sett | |
Start med enhetsintervallet
Fjern fra det som angir den midtre tredjedelen og sett
Fjern fra det som angir de to midtre tredjedelene og sett
Fortsett på denne måten, hvor
Så Er Cantor-settet C definert som
|
|
Cantor-settet gir en indikasjon på den kompliserte strukturen av lukkede sett i den virkelige linjen. Den har følgende egenskaper:
| Eksempel 5.2.13: Egenskaper For Cantor-Settet | |
|
|
Tenk på dette settet. Det virker overraskende at
- et sett med lengde null kan inneholde utallige mange poeng.
- et perfekt sett trenger ikke å inneholde et åpent sett
Derfor Viser Cantor-settet at lukkede delsett av den virkelige linjen kan være mer komplisert enn intuisjon kan først foreslå. Det er faktisk ofte brukt til å konstruere vanskelige, mot-intuitive objekter i analyse.