Laplace Ligning

Skalarformen Av Laplaces ligning er delvisdifferensiell ligning

(1)

hvor er Laplacian.

Merk at operatøren er vanligvis skrevet som av matematikere (Krantz 1999, s. 16). Laplace ligning er et spesielt tilfelle Av Helmholtz differensialligning

(2)

med , Eller Poissons ligning

(3)

med .

vektor Laplaces ligning er gitt ved

(4)

en funksjon som tilfredsstiller Laplaces ligning sies å være harmonisk. En Løsning På Laplace ‘s ligning har egenskapen at gjennomsnittsverdien over en sfærisk overflate er lik verdien i sentrum av sfæren (Gauss’ s harmonic function theorem). Løsninger har ingen lokale maksima eller minima. Fordi Laplace ligning er lineær, superposisjon av noen to løsninger er også en løsning.

en løsning På Laplaces ligning bestemmes unikt hvis (1) verdien av funksjonen er spesifisert på alle grenser (Dirichlet-grensebetingelser) eller (2) det normale derivatet av funksjonen er spesifisert på Alle grenser (Neumann-grensebetingelser).

Coordinate System	Variables	Solution Functions
Cartesian		exponential functions, circular functions, hyperbolic functions
circular cylindrical		Bessel functions, exponential functions, circular functions
conical		ellipsoidal harmonics, power
confocal ellipsoidal		ellipsoidal harmonics of the first kind
elliptic cylindrical		Mathieu function, circular functions
oblate spheroidal		Legendre polynomial, circular functions
parabolic		Bessel functions, circular functions
parabolic cylindrical		parabolic cylinder functions, Bessel functions, sirkulære funksjoner
paraboloid		sirkulære funksjoner
prolate sfæroidal		Legendre polynom, sirkulære funksjoner
sfærisk		Legendre polynom, strøm, sirkulære funksjoner

Laplace ligning kan løses ved separasjon av variabler i alle 11 koordinatsystemer Som Helmholtz differensialligning kan. Skjemaet disse løsningene tar er oppsummert i tabellen ovenfor. I tillegg til disse 11 koordinatsystemene kan separasjon oppnås i to ekstra koordinatsystemer ved å introdusere en multiplikativ faktor. I disse koordinatsystemene er den separerte formen

(5)

og innstilling

(6)

hvor er skalafaktorer, gir Laplaces ligning

(7)

hvis høyre side er lik , hvor er en konstant og er en hvilken som helst funksjon, og hvis

(8)

hvor Er stä determinant, kan ligningen løses ved hjelp Av Metodene Til Helmholtz-differensialligningen. De to systemene der Dette er tilfelle er bisfæriske og toroidale, og bringer det totale antall separerbare systemer for Laplace ‘ s ligning til 13 (Morse and Feshbach 1953, s.665-666).

I todimensjonale bipolare koordinater er Laplaces ligning separerbar, selv Om Helmholtz-differensialligningen ikke er.

Zwillinger (1997, s. 128) samtaler

(9)

Laplace-ligningene.