de scalaire vorm van Laplace ‘ s vergelijking is de partialdifferentiële vergelijking
 |
(1)
|
waarbij 
het Laplaciaan is.
merk op dat de operator 
gewoonlijk wordt geschreven als 
door wiskundigen (Krantz 1999, p. 16). Laplace vergelijking is een speciaal geval van de Helmholtz differentiaalvergelijking
 |
(2)
|
met 
, of Poisson-vergelijking
 |
(3)
|
met 
.
de vectorvergelijking van Laplace wordt gegeven door
 |
(4)
|
een functie 
die voldoet aan de vergelijking van Laplace zou harmonisch zijn. Een oplossing voor Laplace ‘ s vergelijking heeft de eigenschap dat de gemiddelde waarde over een sferisch oppervlak gelijk is aan de waarde in het midden van de bol (de harmonische functiestelling van Gauss). Oplossingen hebben geen lokale maxima of minima. Omdat Laplace ‘ s vergelijking lineair is, is de superpositie van twee oplossingen ook een oplossing.
een oplossing voor de Laplace-vergelijking wordt op unieke wijze bepaald als (1) de waarde van de functie op alle grenzen is gespecificeerd (randvoorwaarden van Dirichlet) of (2) de normale afgeleide van de functie op alle grenzen is gespecificeerd (randvoorwaarden van Neumann).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, circulaire functies | |
| paraboloidal |  |
circulaire functies |
| prolate nodulair |  |
Legendre polynoom, circulaire functies |
| sferische |  |
Legendre polynoom, de macht, de circulaire functies |
Laplace vergelijking kan worden opgelost door een scheiding van variabelen in alle 11 coördinatenstelsels die de Helmholtz differentiaalvergelijking kan. De vorm van deze oplossingen is samengevat in bovenstaande tabel. Naast deze 11 coördinatenstelsels kan scheiding worden bereikt in twee extra coördinatenstelsels door de invoering van een multiplicatieve factor. In deze coördinatenstelsels, de gescheiden formulier is
 |
(5)
|
en instelling
 |
(6)
|
waar 
schaal-factoren, geeft de vergelijking van Laplace
 |
(7)
|
Als de rechter zijde is gelijk aan 
, waarbij 
een constante is en 
is een functie, en als
 |
(8)
|
waar 
is de Stäckel determinant, dan is de vergelijking kan worden opgelost met behulp van de methoden van de Helmholtz differentiaalvergelijking. De twee systemen waar dit het geval is zijn bisferisch en toroïdaal, waardoor het totale aantal scheidbare systemen voor Laplace ‘ s vergelijking op 13 komt (Morse en Feshbach 1953, blz.665-666).
in tweedimensionale bipolaire coördinaten is de vergelijking van Laplace scheidbaar, hoewel de differentiaalvergelijking van Helmholtz dat niet is.
Zwillinger (1997, blz. 128)
 |
(9)
|
de Laplace vergelijkingen.