topologie
5.2. Compacte en perfecte Verzamelingen
we hebben al gezien dat alle open Verzamelingen in de reële lijn kunnen worden geschreven als de aftelbare Vereniging van disjuncte open intervallen. We zullen nu de gesloten sets nader bekijken. De belangrijkste soort gesloten sets in de echte lijn worden compacte sets genoemd:
| definitie 5.2.1: Compact-Sets | |
| Een verzameling van reële getallen heet compact als elke rij in S is een deelrij die convergeert naar een element opnieuw opgenomen in S. | |
| Voorbeelden 5.2.2: | |
|
|
Is het interval compacte ? Wat dacht je van, en C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Is C een open deksel voor S ? 
= { t 
R: | t – 
/ < 
en hier is de karakterisering van compacte sets alleen gebaseerd op open sets:
| stelling 5.2.6: Stelling van Heine-Borel | |
een verzameling s van reële getallen is dan en slechts dan compact als elke open deksel C van S kan worden gereduceerd tot een eindige subdekking.
 Proof |
|
compacte verzamelingen delen veel eigenschappen met eindige verzamelingen. Bijvoorbeeld, als A en B twee niet-lege Verzamelingen zijn met een 
B dan een 
B # 0. Dat geldt in feite ook voor eindig veel verzamelingen, maar faalt om waar te zijn voor oneindig veel verzamelingen.
| voorbeelden 5.2.7: | |
|
|
compacte sets, aan de andere kant, hebben de volgende mooie eigenschap, die zal worden gebruikt in een aantal van de volgende hoofdstukken:
| stelling 5.2.8: kruising van geneste compacte Verzamelingen | |
| stel dat { Aj } een verzameling Verzamelingen is, zodat elke aj niet-leeg, compact en Aj+1 Aj is. Dan is A = Aj niet leeg.
Proof |
|
een andere interessante collectie van gesloten sets zijn de perfecte sets:
| definitie 5.2.9: perfecte Set | |
| een verzameling S is perfect als deze gesloten is en elk punt van S een accumulatiepunt van S is. | |
| voorbeeld 5.2.10: | |
|
|
{0} ? als toepassing van het bovenstaande resultaat, zullen we zien dat perfecte sets gesloten sets zijn die veel punten bevatten:
| stelling 5.2.11: perfecte Verzamelingen zijn ontelbaar | |
| elke niet-lege perfecte set moet ontelbaar zijn.
Proof |
|
dit kan een snel, maar nogal verfijnd bewijs opleveren van het feit dat het interval ontelbaar is: het interval is een perfecte verzameling, dus moet het ontelbaar zijn.
een ander, nogal eigenaardig voorbeeld van een gesloten, compacte en perfecte verzameling is de Cantorverzameling.
| definitie 5.2.12: Cantor Midden Derde Set | |
Starten met het apparaat interval
Verwijderen uit het midden derde en stel
Verwijder uit dat de twee middelste derde en stel
Verder in deze mode, waar
Dan de Cantor set C is gedefinieerd als
|
|
De Cantor set geeft een indicatie van de ingewikkelde structuur van gesloten sets in de echte lijn. Het heeft de volgende eigenschappen:
| voorbeeld 5.2.13: eigenschappen van de Cantor Set | |
|
|
denk aan deze set. Het lijkt verrassend dat
- een set van lengte nul ontelbaar veel punten kan bevatten.
- een perfecte verzameling hoeft geen open verzameling
te bevatten daarom laat de Cantorverzameling zien dat gesloten deelverzamelingen van de reële lijn ingewikkelder kunnen zijn dan intuïtie op het eerste gezicht suggereert. Het wordt in feite vaak gebruikt om moeilijke, contra-intuïtieve objecten in de analyse te construeren.