topologia
5.2. Conjuntos compactos e perfeitos
já vimos que todos os conjuntos abertos na linha real podem ser escritos como a União contável de intervalos abertos disjuntos. Vamos agora analisar mais de perto os conjuntos fechados. O tipo mais importante de conjuntos fechados na linha real são chamados conjuntos compactos.:
| definição 5.2.1: Compacto Conjuntos | |
| Um conjunto S de números reais é chamado de compacto se toda seqüência S tem um subsequence que converge para um elemento de novo contidos em S. | |
| Exemplos 5.2.2: | |
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É o intervalo compacto ? Que tal, E C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. C é um disfarce aberto para S ? 
= { t 
R : | t – 
| < 
e aqui está a caracterização de conjuntos compactos baseados apenas em conjuntos abertos:
| Teorema 5.2.6: Teorema de Heine-Borel | |
um conjunto S de números reais é compacto se e somente se cada cobertura aberta C de S pode ser reduzida a uma subcobertura finita.
 prova |
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os conjuntos compactos partilham muitas propriedades com conjuntos finitos. Por exemplo, se A e B são dois conjuntos não-vazios com a 
B então a 
b # 0. Isso é, de fato, verdadeiro para finitamente muitos conjuntos também, mas não é verdadeiro para infinitamente muitos conjuntos.
| exemplos 5.2.7: | |
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conjuntos compactos, por outro lado, têm a seguinte propriedade agradável, que será usado em alguns dos seguintes capítulos:
| Proposição 5.2.8: Intersecção de Aninhados Compacto Conjuntos | |
| Suponha que { Aj } é uma coleção de conjuntos, tais que cada Aj não vazio, compacto e Aj+1 Aj. Então A = Aj não está vazia.
Prova |
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Outro interessante colecção de conjuntos fechados são o perfeito conjuntos:
| Definição 5.2.9: Conjunto Perfeito | |
| Um conjunto S é perfeito se ele é fechado e cada ponto de S é um ponto de acumulação de S. | |
| Exemplo 5.2.10: | |
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{0} ? Como uma aplicação do resultado acima, veremos que perfeito conjuntos de conjuntos fechados que contêm muitos pontos:
| proposição 5.2.11: conjuntos perfeitos são incontáveis | |
| todos os conjuntos perfeitos não vazios devem ser incontáveis.
Prova |
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Isso pode produzir uma rápida, mas bastante sofisticado prova do fato de que o intervalo é incontável: o intervalo é um conjunto perfeito, portanto, ele deve ser incontável.
outro exemplo bastante peculiar de um conjunto fechado, compacto e perfeito é o conjunto de Cantor.
| Definição 5.2.12: O Cantor Terço Médio do Conjunto de | |
Começar com a unidade de intervalo de
Remover do que definir o terço médio e set
Remover do que definir a dois terços médio e set
Continuar desta forma, onde
em Seguida, o Cantor conjunto C é definido como
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O Cantor conjunto dá uma indicação da complicada estrutura de conjuntos fechados na reta real. Ele tem as seguintes propriedades:
| Exemplo 5.2.13: Propriedades do Conjunto de Cantor | |
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pensa neste conjunto. Parece surpreendente que
- um conjunto de comprimento zero pode conter inúmeros pontos.
- um conjunto perfeito não tem de conter um conjunto aberto
Portanto, o conjunto de Cantor mostra que fechou subconjuntos da reta real pode ser mais complicado do que a intuição poderia sugerir. Na verdade, é frequentemente usado para construir objetos difíceis e contra-intuitivos em análise.