Laplace da Equação

A escalar forma de Laplace da equação é a equação partialdifferential

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onde é o Laplaciano.

Note that the operator is commonly written as by mathematicians (Krantz 1999, p. 16). Laplace da equação é um caso especial de Helmholtz equação diferencial

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com , ou da equação de Poisson

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com .

a equação de Laplace vectorial é dada por

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Uma função que satisfaz Laplace da equação é dita harmônica. Uma solução para a equação de Laplace tem a propriedade de que o valor médio sobre uma superfície esférica é igual ao valor no centro da esfera (teorema da função harmônica de Gauss). As soluções não têm máximos ou mínimos locais. Como a equação de Laplace é linear, a superposição de quaisquer duas soluções é também uma solução.

uma solução para a equação de Laplace é determinada unicamente se (1) o valor da função é especificado em todos os limites (condições de limite de Dirichlet) ou (2) a derivada normal da função é especificada em todos os limites (condições de limite de Neumann).

Coordinate System	Variables	Solution Functions
Cartesian		exponential functions, circular functions, hyperbolic functions
circular cylindrical		Bessel functions, exponential functions, circular functions
conical		ellipsoidal harmonics, power
confocal ellipsoidal		ellipsoidal harmonics of the first kind
elliptic cylindrical		Mathieu function, circular functions
oblate spheroidal		Legendre polynomial, circular functions
parabolic		Bessel functions, circular functions
parabolic cylindrical		parabolic cylinder functions, Bessel functions, funções circulares
paraboloidal		funções circulares
prolate esferoidal		polinˆ omio de Legendre, funções circulares
esférico		polinˆ omio de Legendre, de energia, funções circulares

Laplace da equação pode ser resolvida por separação de variáveis em todos os 11 sistemas de coordenadas que Helmholtz equação diferencial pode. A forma que estas soluções assumem é resumida no quadro acima. Além destes 11 Sistemas de coordenadas, a separação pode ser alcançada em dois sistemas de coordenadas adicionais, introduzindo um fator multiplicativo. Nestes sistemas de coordenadas, separados formulário é

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e configuração

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onde são fatores de escala, dá-o de Laplace da equação

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Se o lado direito é igual a , onde k_1 é uma constante e é qualquer função, e se

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onde é o Stäckel determinante, então a equação pode ser resolvida usando-se os métodos de Helmholtz equação diferencial. Os dois sistemas em que este é o caso são bispherical e toroidal, elevando o número total de sistemas separáveis para a equação de Laplace para 13 (Morse e Feshbach 1953, pp. 665-666).

em coordenadas bipolares bidimensionais, a equação de Laplace é separável, embora a equação diferencial de Helmholtz não seja.

Zwillinger (1997, p. 128) chama

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as equações de Laplace.