topologie
5.2. Seturi compacte și perfecte
am văzut deja că toate seturile deschise din linia reală pot fi scrise ca Uniunea numărabilă a intervalelor deschise disjuncte. Acum vom arunca o privire mai atentă asupra seturilor închise. Cel mai important tip de seturi închise din linia reală se numesc seturi compacte:
| definiție 5.2.1: Seturi compacte | |
| un set S de numere reale se numește compact dacă fiecare secvență din S are o subsecvență care converge la un element conținut din nou în S. | |
| Exemple 5.2.2: | |
|
|
intervalul este compact ? Ce zici, și C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Este C o acoperire deschisă pentru S ? 
= {t 
R : | t – 
| & lt 
și Iată caracterizarea seturilor compacte bazate numai pe seturi deschise:
| Teorema 5.2.6: Teorema Heine-Borel | |
un set S de numere reale este compact dacă și numai dacă fiecare copertă deschisă C A Lui s poate fi redusă la o subcoperire finită.
 dovada |
|
seturile compacte împărtășesc multe proprietăți cu seturile finite. De exemplu, dacă a și B sunt două seturi ne-goale cu a 
B apoi A 
B # 0. Acest lucru este, de fapt, adevărat și pentru finit multe seturi, dar nu reușește să fie adevărat pentru infinit de multe seturi.
| Exemple 5.2.7: | |
|
|
seturile compacte, pe de altă parte, au următoarea proprietate frumoasă, care va fi utilizată în unele dintre următoarele capitole:
| propunerea 5.2.8: intersecția seturilor compacte imbricate | |
| să presupunem că {Aj } este o colecție de seturi astfel încât fiecare Aj ne-gol, compact și Aj+1 Aj. Atunci a = Aj nu este gol.
dovada |
|
o altă colecție interesantă de seturi închise sunt seturile perfecte:
| definiția 5.2.9: Set Perfect | |
| un set S este perfect dacă este închis și fiecare punct al lui S este un punct de acumulare al lui S. | |
| exemplu 5.2.10: | |
|
|
{0} ? ca o aplicație a rezultatului de mai sus, vom vedea că seturile perfecte sunt seturi închise care conțin o mulțime de puncte:
| propunerea 5.2.11: seturile perfecte sunt nenumărate | |
| fiecare set perfect care nu este gol trebuie să fie nenumărat.
dovada |
|
acest lucru poate da o dovadă rapidă, dar destul de sofisticată a faptului că intervalul este nenumărat: intervalul este un set perfect, prin urmare, trebuie să fie nenumărat.
un alt exemplu destul de ciudat de set închis, compact și perfect este setul Cantor.
| definiție 5.2.12: Cantor al treilea Set Mijlociu | |
începeți cu intervalul de unitate
eliminați din acel set treimea mijlocie și setați
eliminați din acel set cele două treimi mijlocii și setați
continuați în acest mod, unde
atunci setul Cantor C este definit ca
|
|
Setul Cantor oferă o indicație a structurii complicate a seturilor închise în linia reală. Are următoarele proprietăți:
| exemplul 5.2.13: proprietățile setului Cantor | |
|
|
gândiți-vă la acest set. Pare surprinzător faptul că
- un set de lungime zero poate conține nenumărate puncte.
- un set perfect nu trebuie să conțină un set deschis
prin urmare, setul Cantor arată că subseturile închise ale liniei reale pot fi mai complicate decât ar putea sugera intuiția la început. De fapt, este adesea folosit pentru a construi obiecte dificile, contra-intuitive în analiză.