Ecuația lui Laplace

forma scalară a ecuației lui Laplace este ecuația parțială diferențială

(1)

unde este laplacianul.

rețineți că operatorul este scris în mod obișnuit ca de matematicieni (Krantz 1999, p. 16). Ecuația lui Laplace este un caz special al ecuației diferențiale Helmholtz

(2)

cu, sau ecuația lui Poisson

(3)

cu .

ecuația vectorului Laplace este dată de

(4)

se spune că o funcție care satisface ecuația lui Laplace este armonică. O soluție la ecuația lui Laplace are proprietatea că valoarea medie pe o suprafață sferică este egală cu valoarea din centrul sferei (teorema funcției armonice a lui Gauss). Soluțiile nu au maxime sau minime locale. Deoarece ecuația lui Laplace este liniară, suprapunerea oricăror două soluții este, de asemenea, o soluție.

o soluție la ecuația lui Laplace este determinată în mod unic dacă (1) valoarea funcției este specificată pe toate limitele (condiții limită Dirichlet) sau (2) derivata normală a funcției este specificată pe toate limitele (condiții limită Neumann).

Coordinate System	Variables	Solution Functions
Cartesian		exponential functions, circular functions, hyperbolic functions
circular cylindrical		Bessel functions, exponential functions, circular functions
conical		ellipsoidal harmonics, power
confocal ellipsoidal		ellipsoidal harmonics of the first kind
elliptic cylindrical		Mathieu function, circular functions
oblate spheroidal		Legendre polynomial, circular functions
parabolic		Bessel functions, circular functions
parabolic cylindrical		parabolic cylinder functions, Bessel functions, funcții circulare
paraboloidal		funcții circulare
prolat sferoidal		Legendre polinomial, funcții circulare
sferice		Legendre polinomial, putere, funcții circulare

ecuația lui Laplace poate fi rezolvată prin separarea variabilelor în toate cele 11 sisteme de coordonate pe care ecuația diferențială Helmholtz o poate. Forma pe care o iau aceste soluții este rezumată în tabelul de mai sus. În plus față de aceste 11 sisteme de coordonate, separarea poate fi realizată în două sisteme de coordonate suplimentare prin introducerea unui factor multiplicativ. În aceste sisteme de coordonate, forma separată este

(5)

și setarea

(6)

unde sunt factori de scară, dă ecuația lui Laplace

(7)

dacă partea dreaptă este egală cu , unde este o constantă și este orice funcție și dacă

(8)

în cazul în care este determinantul St Inktikkel, atunci ecuația poate fi rezolvată folosind metodele ecuației diferențiale Helmholtz. Cele două sisteme în care este cazul sunt bisferice și toroidale, aducând numărul total de sisteme separabile pentru ecuația lui Laplace la 13 (Morse și Feshbach 1953, PP.665-666).

în coordonatele bipolare bidimensionale, ecuația lui Laplace este separabilă, deși ecuația diferențială Helmholtz nu este.

Zwillinger (1997, p. 128) apeluri

(9)

ecuațiile Laplace.