topologi
5.2. Kompakta och perfekta uppsättningar
vi har redan sett att alla öppna uppsättningar i den verkliga raden kan skrivas som den räknbara föreningen av ojämna öppna intervaller. Vi kommer nu att titta närmare på slutna uppsättningar. Den viktigaste typen av slutna uppsättningar i den verkliga linjen kallas kompakta uppsättningar:
| Definition 5.2.1: Kompakta uppsättningar | |
| en uppsättning s av reella tal kallas kompakt om varje sekvens i S har en subsekvens som konvergerar till ett element igen som finns i S. | |
| exempel 5.2.2: | |
|
|
är intervallet kompakt ? Vad sägs om, och C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Är C ett öppet skydd för S ? 
= { t 
R : | t – 
| & lt 
och här är karaktäriseringen av kompakta uppsättningar baserade endast på öppna uppsättningar:
| Sats 5.2.6: Heine-Borelsatsen | |
en uppsättning s av reella tal är kompakt om och endast om varje öppet lock C av S kan reduceras till en ändlig underbeläggning.
 bevis |
|
kompakta uppsättningar delar många egenskaper med ändliga uppsättningar. Till exempel, om A och B är två icke-tomma uppsättningar med en 
B sedan en 
B # 0. Det är faktiskt sant för ändligt många uppsättningar också, men misslyckas med att vara sant för oändligt många uppsättningar.
| exempel 5.2.7: | |
|
|
kompakta uppsättningar har å andra sidan följande fina egenskap, som kommer att användas i några av följande kapitel:
| Proposition 5.2.8: korsning av kapslade kompakta uppsättningar | |
| Antag att { Aj } är en samling uppsättningar så att varje aj icke-tom, kompakt och Aj+1 Aj. Då är A = Aj inte tom.
bevis |
|
en annan intressant samling av slutna uppsättningar är de perfekta uppsättningarna:
| Definition 5.2.9: perfekt uppsättning | |
| en uppsättning S är perfekt om den är stängd och varje punkt i S är en ackumuleringspunkt för S. | |
| exempel 5.2.10: | |
|
|
{0} ? som en tillämpning av ovanstående resultat ser vi att perfekta uppsättningar är stängda uppsättningar som innehåller många poäng:
| Proposition 5.2.11: perfekta uppsättningar är otaliga | |
| varje icke-tom perfekt uppsättning måste vara oräknelig.
bevis |
|
detta kan ge ett snabbt, men ganska sofistikerat bevis på att intervallet är oräkneligt: intervallet är en perfekt uppsättning, därför måste det vara oräkneligt.
ett annat, ganska märkligt exempel på en sluten, kompakt och perfekt uppsättning är Cantor-uppsättningen.
| Definition 5.2.12: Cantor mitt tredje Set | |
börja med enhetsintervallet
ta bort från den som ställer in den mellersta tredjedelen och ställ in
ta bort från den som ställer in de två mellersta tredjedelarna och ställ in
Fortsätt på detta sätt, där
då Kantoruppsättningen C definieras som
|
|
Cantor-uppsättningen ger en indikation på den komplicerade strukturen hos slutna uppsättningar i den verkliga linjen. Den har följande egenskaper:
| exempel 5.2.13: egenskaper för Kantoruppsättningen | |
|
|
Tänk på den här uppsättningen. Det verkar förvånande att
- en uppsättning längd noll kan innehålla uncountably många punkter.
- en perfekt uppsättning behöver inte innehålla en öppen uppsättning
därför visar Kantoruppsättningen att stängda delmängder av den verkliga linjen kan vara mer komplicerade än intuition kan först föreslå. Det används faktiskt ofta för att konstruera svåra, kontraintuitiva objekt i analysen.