den skalära formen av Laplaces ekvation är den partiella differentialekvationen
 |
(1)
|
där 
är Laplacian.
Observera att operatören 
ofta skrivs som 
av matematiker (Krantz 1999, s. 16). Laplaces ekvation är ett speciellt fall av Helmholtz differentialekvation
 |
(2)
|
med 
, eller Poissons ekvation
 |
(3)
|
med 
.
vektorn Laplaces ekvation ges av
 |
(4)
|
en funktion 
som uppfyller Laplaces ekvation sägs vara harmonisk. En lösning på Laplaces ekvation har egenskapen att medelvärdet över en sfärisk yta är lika med värdet i mitten av sfären (Gauss ’ s harmonic function theorem). Lösningar har inga lokala maxima eller minima. Eftersom Laplaces ekvation är linjär är superpositionen av två lösningar också en lösning.
en lösning på Laplaces ekvation bestäms unikt om (1) värdet på funktionen anges på alla gränser (Dirichlet-gränsvillkor) eller (2) det normala derivatet av funktionen anges på alla gränser (Neumann-gränsvillkor).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, cirkulära funktioner | |
| paraboloid |  |
cirkulära funktioner |
| prolate sfäroidal |  |
Legendre polynom, cirkulära funktioner |
| sfärisk |  |
Legendre polynom, kraft, cirkulära funktioner |
Laplaces ekvation kan lösas genom separation av variabler i alla 11 koordinatsystem som Helmholtz differentialekvation kan. Formen som dessa lösningar tar sammanfattas i tabellen ovan. Förutom dessa 11 koordinatsystem kan separation uppnås i ytterligare två koordinatsystem genom att införa en multiplikativ faktor. I dessa koordinatsystem är den separerade formen
 |
(5)
|
och inställning
 |
(6)
|
där 
är skalfaktorer, ger Laplaces ekvation
 |
(7)
|
om den högra sidan är lika med 
, där 
är en konstant och 
är någon funktion, och om
 |
(8)
|
där 
är determinanten för St-Occylckel, kan ekvationen lösas med hjälp av metoderna för Helmholtz-differentialekvationen. De två systemen där detta är fallet är bisfäriska och toroidala, vilket ger det totala antalet separerbara system för Laplaces ekvation till 13 (Morse och Feshbach 1953, s.665-666).
i tvådimensionella bipolära koordinater är Laplaces ekvation separerbar, även om Helmholtz differentialekvation inte är det.
Zwillinger (1997, s. 128) samtal
 |
(9)
|
Laplace ekvationer.