Topología
5.2. Conjuntos compactos y perfectos
Ya hemos visto que todos los conjuntos abiertos en la línea real se pueden escribir como la unión contable de intervalos abiertos disjuntos. Ahora echaremos un vistazo más de cerca a los sets cerrados. El tipo más importante de juegos cerrados en la línea real se denominan juegos compactos:
| Definición 5.2.1: Compacto Conjuntos | |
| Un conjunto S de números reales se llama compacto si cada secuencia en S tiene una larga que converge a un elemento nuevo contenida en S. | |
| Ejemplos 5.2.2: | |
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Es el intervalo compacto ? Cómo se acerca , y C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. ¿C es una cubierta abierta para S ? 
= { t 
R : | t – 
| < 
y Aquí está la caracterización de conjuntos compactos basados solo en conjuntos abiertos:
| Teorema 5.2.6: Teorema de Heine-Borel | |
Un conjunto S de números reales es compacto si y solo si cada cubierta abierta C de S se puede reducir a un subcubierto finito.
 Prueba |
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Los conjuntos compactos comparten muchas propiedades con conjuntos finitos. Por ejemplo, si A y B son dos conjuntos no vacíos con A 
B, entonces A 
B # 0. Eso es, de hecho, cierto para un número finito de conjuntos también, pero no es cierto para un número infinito de conjuntos.
| Ejemplos 5.2.7: | |
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Los conjuntos compactos, por otro lado, tienen la siguiente propiedad agradable, que se utilizará en algunos de los siguientes capítulos:
| Proposición 5.2.8: Intersección de Conjuntos Compactos Anidados | |
| Supongamos que { Aj } es una colección de conjuntos tales que cada Aj no vacío, compacto y Aj+1 Aj. Entonces A = Aj no está vacío.
Prueba |
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Otra interesante colección de sets cerrados son los sets perfectos:
| Definición 5.2.9: Juego perfecto | |
| Un conjunto S es perfecto si está cerrado y cada punto de S es un punto de acumulación de S. | |
| Ejemplo 5.2.10: | |
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{0} ? Como aplicación del resultado anterior, veremos que los conjuntos perfectos son conjuntos cerrados que contienen muchos puntos:
| Proposición 5.2.11: Los conjuntos perfectos son Incontables | |
| Cada conjunto perfecto no vacío debe ser incontable.
Prueba |
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Esto puede producir una prueba rápida, pero bastante sofisticada del hecho de que el intervalo es incontable: el intervalo es un conjunto perfecto, por lo tanto, debe ser incontable.
Otro ejemplo bastante peculiar de un conjunto cerrado, compacto y perfecto es el conjunto Cantor.
| Definición 5.2.12: Conjunto de Tercio Medio Cantor | |
Comience con el intervalo de unidad
Elimine de ese conjunto el tercio medio y establezca
Elimine de ese conjunto los dos tercios medios y establezca
Continúe de esta manera, donde
, entonces el conjunto de Cantores C se define como
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El conjunto de Cantores da una indicación de la complicada estructura de los conjuntos cerrados en la línea real. Tiene las siguientes propiedades:
| Ejemplo 5.2.13: Propiedades del Conjunto de Cantores | |
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Piensa en este set. Parece sorprendente que
- un conjunto de longitud cero puede contener innumerables puntos.
- un conjunto perfecto no tiene que contener un conjunto abierto
Por lo tanto, el conjunto de Cantor muestra que los subconjuntos cerrados de la línea real pueden ser más complicados de lo que la intuición podría sugerir al principio. De hecho, se utiliza a menudo para construir objetos difíciles y contra intuitivos en el análisis.