La forma escalar de la ecuación de Laplace es la ecuación diferencial parcial
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donde 
es el laplaciano.
Tenga en cuenta que el operador 
se escribe comúnmente como 
por matemáticos (Krantz 1999, p. 16). La ecuación de Laplace es un caso especial de la ecuación diferencial de Helmholtz
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con 
, o ecuación de Poisson
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con 
.
La ecuación del vector de Laplace viene dada por
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Una función 
que satisface la ecuación de Laplace se dice que es armónica. Una solución a la ecuación de Laplace tiene la propiedad de que el valor promedio sobre una superficie esférica es igual al valor en el centro de la esfera (teorema de la función armónica de Gauss). Las soluciones no tienen máximos ni mínimos locales. Debido a que la ecuación de Laplace es lineal, la superposición de dos soluciones cualesquiera es también una solución.
Una solución a la ecuación de Laplace se determina únicamente si (1) el valor de la función se especifica en todos los límites (condiciones de límite de Dirichlet) o (2) la derivada normal de la función se especifica en todos los límites (condiciones de límite de Neumann).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, funciones circulares | |
| paraboloidal |  |
funciones circulares |
| esferoidal prolato |  |
Polinomio de Legendre, funciones circulares |
| esférico |  |
Polinomio, potencia, funciones circulares de Legendre |
La ecuación de Laplace se puede resolver separando variables en los 11 sistemas de coordenadas que puede resolver la ecuación diferencial de Helmholtz. La forma que adoptan estas soluciones se resume en el cuadro anterior. Además de estos 11 sistemas de coordenadas, la separación se puede lograr en dos sistemas de coordenadas adicionales mediante la introducción de un factor multiplicativo. En estos sistemas de coordenadas, los separados formulario
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y la configuración de
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donde 
son factores de escala, da la ecuación de Laplace
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Si el lado derecho es igual a 
, donde 
es una constante y 
es cualquier función, y si
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donde 
es el determinante de Stäckel, entonces la ecuación se puede resolver utilizando los métodos de la ecuación diferencial de Helmholtz. Los dos sistemas donde este es el caso son bisféricos y toroidales, llevando el número total de sistemas separables para la ecuación de Laplace a 13 (Morse y Feshbach 1953, pp.665-666).
En coordenadas bipolares bidimensionales, la ecuación de Laplace es separable, aunque la ecuación diferencial de Helmholtz no lo es.
Llamadas de Zwillinger (1997, p. 128)
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las ecuaciones de Laplace.