a Laplace-egyenlet skaláris formája a partialdifferenciális egyenlet
 |
(1)
|
ahol 
a Laplacian.
vegye figyelembe, hogy a 
operátort a matematikusok általában 
néven írják (Krantz 1999, 16. o.). Laplace egyenlete a Helmholtz-differenciálegyenlet speciális esete
 |
(2)
|
val vel 
, vagy Poisson egyenlete
 |
(3)
|
értékkel.
a Laplace-egyenlet vektorát a
 |
(4)
|
a 
függvény, amely kielégíti Laplace egyenletét, állítólag harmonikus. A Laplace-egyenlet megoldásának az a tulajdonsága, hogy a gömbfelület átlagértéke megegyezik a gömb közepén lévő értékkel (Gauss harmonikus függvénytétele). A megoldásoknak nincs helyi maximuma vagy minimuma. Mivel Laplace egyenlete lineáris, bármely két megoldás szuperpozíciója is megoldás.
a Laplace-egyenlet megoldása egyedileg meghatározható, ha (1) A függvény értéke minden határon meg van adva (Dirichlet határfeltételek) vagy (2) a függvény normál deriváltja minden határon meg van adva (Neumann határfeltételek).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, körkörös funkciók | |
| paraboloid |  |
körkörös funkciók |
| prolát gömb alakú |  |
Legendre polinom, körfüggvények |
| gömb alakú |  |
Legendre polinom, teljesítmény, körfüggvények |
Laplace egyenlete megoldható a változók elválasztásával mind a 11 koordinátarendszerben, amelyet a Helmholtz-differenciálegyenlet képes. Ezeknek a megoldásoknak a formáját a fenti táblázat foglalja össze. Ezen 11 koordinátarendszer mellett az elválasztás két további koordinátarendszerben is elérhető egy multiplikatív tényező bevezetésével. Ezekben a koordinátarendszerekben az elválasztott forma az
 |
(5)
|
és beállítás
 |
(6)
|
ahol 
skálatényezők, megadja a Laplace-egyenletet
 |
(7)
|
ha a jobb oldal egyenlő 
, ahol 
állandó és 
bármilyen függvény, és ha
 |
(8)
|
ahol 
az St Onckel determináns, akkor az egyenlet megoldható a Helmholtz-differenciálegyenlet módszereivel. A két rendszer, ahol ez a helyzet, bispherical és toroidal, így az összes elválasztható rendszerek Laplace-egyenlet 13 (Morse and Feshbach 1953, PP.665-666).
kétdimenziós bipoláris koordinátákban Laplace egyenlete elválasztható, bár a Helmholtz-differenciálegyenlet nem.
Zwillinger (1997, p. 128) hívások
 |
(9)
|
a Laplace-egyenletek.