topologi
5.2. Kompakte og perfekte sæt
vi har allerede set, at alle åbne sæt i den rigtige linje kan skrives som den tællelige forening af uensartede åbne intervaller. Vi vil nu se nærmere på lukkede sæt. Den vigtigste type lukkede sæt i den rigtige linje kaldes kompakte sæt:
| Definition 5.2.1: Kompakte sæt | |
| et sæt reelle tal kaldes kompakt, hvis hver sekvens i S har en efterfølger, der konvergerer til et element igen indeholdt i S. | |
| eksempler 5.2.2: | |
|
|
er intervallet kompakt ? Hvad med, og C = { (-1/2, 1/2), (1/3, 2/3), (1/2, 3/2)}. Er C et åbent cover til S ? 
= {t 
R : | t – 
| & lt 
og her er karakteriseringen af kompakte sæt baseret kun på åbne sæt:
| sætning 5.2.6: Heine-Borel sætning | |
et sæt s af reelle tal er kompakt, hvis og kun hvis hvert åbent dæksel C af S kan reduceres til en endelig underdækning.
 bevis |
|
kompakte sæt deler mange egenskaber med endelige sæt. For eksempel, hvis A og B er to ikke-tomme sæt med en 
B, Så a 
B # 0. Det er faktisk også sandt for endeligt mange sæt, men undlader at være sandt for uendeligt mange sæt.
| eksempler 5.2.7: | |
|
|
kompakte sæt har på den anden side følgende dejlige ejendom, som vil blive brugt i nogle af de følgende kapitler:
| Proposition 5.2.8: skæringspunktet mellem indlejrede kompakte sæt | |
| Antag { Aj } er en samling af sæt, således at hver Aj ikke-tom, kompakt og Aj+1 Aj. Så er A = Aj ikke tom.
bevis |
|
en anden interessant samling af lukkede sæt er de perfekte sæt:
| Definition 5.2.9: perfekt sæt | |
| et sæt S er perfekt, hvis det er lukket, og hvert punkt I S er et akkumuleringspunkt på S. | |
| eksempel 5.2.10: | |
|
|
{0} ? som en anvendelse af ovenstående resultat vil vi se, at perfekte sæt er lukkede sæt, der indeholder mange punkter:
| Proposition 5.2.11: perfekte sæt er utallige | |
| Hvert ikke-tomt perfekt sæt skal være utallige.
bevis |
|
dette kan give et hurtigt, men ret sofistikeret bevis på, at intervallet er utallige: intervallet er et perfekt sæt, derfor skal det være utallige.
et andet, temmelig ejendommeligt eksempel på et lukket, kompakt og perfekt sæt er Cantor-Sættet.
| Definition 5.2.12: Cantor midterste tredje sæt | |
Start med enhedsintervallet
fjern fra det sæt den midterste tredjedel og sæt
fjern fra det sæt de to midterste tredjedele og sæt
Fortsæt på denne måde, hvor
så er Kantorsættet C defineret som
|
|
Cantor-sættet giver en indikation af den komplicerede struktur af lukkede sæt i den rigtige linje. Det har følgende egenskaber:
| eksempel 5.2.13: egenskaber for Kantorsættet | |
|
|
tænk på dette sæt. Det forekommer overraskende, at
- et sæt længde nul kan indeholde utallige mange punkter.
- et perfekt sæt behøver ikke at indeholde et åbent sæt
derfor viser Cantor-Sættet, at lukkede undergrupper af den rigtige linje kan være mere komplicerede, end intuition måske først antyder. Det bruges faktisk ofte til at konstruere vanskelige, kontraintuitive objekter i analyse.