den skalære form af Laplace’ s ligning er den partialdifferentielle ligning
 |
(1)
|
hvor 
er Laplacian.
Bemærk, at operatøren 
er almindeligt skrevet som 
af matematikere (Krant 1999, s. 16). Laplace ‘s ligning er et specielt tilfælde af helmholts differentialligning
 |
(2)
|
med 
eller Poisson’ s ligning
 |
(3)
|
med 
.
vector Laplace ‘ s ligning er givet af
 |
(4)
|
en funktion 
som opfylder Laplace ‘ s ligning siges at være harmonisk. En løsning på Laplace ‘ s ligning har den egenskab, at gennemsnitsværdien over en sfærisk overflade er lig med værdien i midten af kuglen (Gauss harmoniske funktionssætning). Løsninger har ingen lokale Maksima eller minima. Fordi Laplace ‘ s ligning er lineær, er overlejringen af to løsninger også en løsning.
en løsning på Laplace ‘ s ligning bestemmes entydigt, hvis (1) værdien af funktionen er specificeret på alle grænser (Dirichlet randbetingelser) eller (2) det normale derivat af funktionen er specificeret på alle grænser (Neumann randbetingelser).
| Coordinate System | Variables | Solution Functions |
| Cartesian |  |
exponential functions, circular functions, hyperbolic functions |
| circular cylindrical |  |
Bessel functions, exponential functions, circular functions |
| conical | ellipsoidal harmonics, power | |
| confocal ellipsoidal |  |
ellipsoidal harmonics of the first kind |
| elliptic cylindrical |  |
Mathieu function, circular functions |
| oblate spheroidal |  |
Legendre polynomial, circular functions |
| parabolic | Bessel functions, circular functions | |
| parabolic cylindrical | parabolic cylinder functions, Bessel functions, cirkulære funktioner | |
| paraboloidal |  |
cirkulære funktioner |
| prolate sfæroid |  |
Legendre polynomium, cirkulære funktioner |
| sfærisk |  |
Legendre polynomium, magt, cirkulære funktioner |
Laplace ‘ s ligning kan løses ved adskillelse af variabler i alle 11 koordinatsystemer, som Helmholts differentialligning kan. Den form, disse løsninger tager, er opsummeret i tabellen ovenfor. Ud over disse 11 koordinatsystemer kan adskillelse opnås i to yderligere koordinatsystemer ved at indføre en multiplikativ faktor. I disse koordinatsystemer er den adskilte form
 |
(5)
|
og indstilling
 |
(6)
|
hvor 
er skalafaktorer, giver Laplace ‘ s ligning
 |
(7)
|
hvis højre side er lig med 
, hvor 
er en konstant og 
er en hvilken som helst funktion, og hvis
 |
(8)
|
hvor 
er determinanten for St. Pristckel, kan ligningen løses ved hjælp af metoderne til Helmholts differentialligning. De to systemer, hvor dette er tilfældet, er bispheriske og toroidale, hvilket bringer det samlede antal adskillelige systemer til Laplace ‘ s ligning til 13 (Morse og Feshbach 1953, s.665-666).
i to-dimensionelle bipolære koordinater kan Laplace ‘ s ligning adskilles, selvom Helmholts differentialligning ikke er.
Villinger (1997, s. 128) opkald
 |
(9)
|
Laplace ligningerne.